方差和标准差计算

方差和标准差计算#

方差的公式#

对于一组数据 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，其方差 \(\sigma^2\) 计算如下：

\[\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2\]

其中：

  • \(n\) 是数据的数量（样本个数）。

  • \(x_i\) 是第 \(i\) 个数据点。

  • \(\mu\) 是所有数据点的均值，计算公式为： \(\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\)

  • \((x_i - \mu)^2\) 是每个数据点与均值的差值的平方。

计算过程的步骤#

  1. 求均值：首先，计算所有数据的平均值（即均值）。

  2. 计算差值：求每个数据点与均值之间的差值。

  3. 差值平方：对每个差值取平方，消除正负偏差。

  4. 求均值：将所有差值的平方相加，取平均值，即为方差。

举例#

假设有一组数据：\(x = [1, 2, 3]\)

1. 计算均值 \(\mu\)#

\[\mu = \frac{1 + 2 + 3}{3} = 2\]

2. 计算每个数据点与均值的差值#

  • \(1 - 2 = -1\)

  • \(2 - 2 = 0\)

  • \(3 - 2 = 1\)

3. 计算差值的平方#

  • \((-1)^2 = 1\)

  • \(0^2 = 0\)

  • \(1^2 = 1\)

4. 计算方差#

\[\sigma^2 = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67\]

因此，方差 \(\sigma^2 \approx 0.67\)。

样本方差 vs 总体方差#

上面的公式计算的是 总体方差，它用于处理整个数据集。在处理样本数据时，方差的公式略有不同，被称为 样本方差：

\[S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]

样本方差的分母是 \(n-1\) 而不是 \(n\)，这样做是为了纠正由于样本量有限造成的偏差。

标准差的定义#

标准差是方差的平方根，用来衡量数据点与均值之间的平均距离。与方差一样，标准差也是衡量数据离散程度的重要指标，但与方差相比，标准差与数据本身的单位保持一致。

标准差的公式#

对于一组数据 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，其标准差 \(\sigma\) 是方差 \(\sigma^2\) 的平方根，计算公式为：

\[\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}\]

其中：

  • \(\sigma\) 是标准差。

  • \(n\) 是数据的数量（样本个数）。

  • \(x_i\) 是第 \(i\) 个数据点。

  • \(\mu\) 是均值： \( \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \)

  • \((x_i - \mu)^2\) 是每个数据点与均值差值的平方。

计算标准差的步骤#

  1. 计算均值：先求出所有数据的均值 \(\mu\)。

  2. 计算方差：计算每个数据点与均值的差值平方，并取平均值，得到方差 \(\sigma^2\)。

  3. 开方：对方差取平方根，得到标准差。

举例#

假设有一组数据：\( x = [1, 2, 3] \)

  1. 计算均值： \( \mu = \frac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \)

  2. 计算每个数据点与均值的差值平方：

    • \((1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1\)

    • \((2 - 2)^2 = 0^2 = 0\)

    • \((3 - 2)^2 = 1^2 = 1\)

  3. 计算方差： \( \sigma^2 = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67 \)

  4. 计算标准差： \( \sigma = \sqrt{0.67} \approx 0.82 \)

因此，这组数据的标准差 \(\sigma \approx 0.82\)。

样本标准差 vs 总体标准差#

与方差类似，标准差也分为 总体标准差 和 样本标准差。样本标准差的公式为：

\[S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\]

这里的分母是 \(n-1\)，用于处理样本数据时调整偏差，称为 贝塞尔校正。

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