链式法则#
你可能听说过“反向传播”（Backpropagation）是神经网络学习的魔法。而这个魔法的核心咒语，就是我们今天要讲的链式法则（Chain Rule）。
别怕，这东西听起来数学，但它的思想非常直观。我们将通过开办一家“汉堡工厂”来彻底征服它。
第一站：开一家全自动汉堡工厂#
想象一下，你开了一家汉堡工厂，生产流程环环相扣：
机器A：接收原材料“牛肉”(\(x\))，通过调节旋钮
w，生产出中间产品“肉饼”(\(u\))。机器B：接收“肉饼”(\(u\))，通过调节旋钮
v，生产出最终产品“汉堡”(\(y\))。
整个流程可以表示为： 牛肉(\(x\)) \(\xrightarrow[\text{旋钮 w}]{\text{机器 A}}\) 肉饼(\(u\)) \(\xrightarrow[\text{旋钮 v}]{\text{机器 B}}\) 汉堡(\(y\))
第二站：从生产到数学——链式法则的诞生#
我们用数学来描述这个工厂。
机器A的功能：\(u = w \cdot x\)
机器B的功能：\(y = v \cdot u\)
整个流程合起来，就是一个复合函数：\(y = v \cdot (w \cdot x)\)。
现在，老板（你）最关心的问题是：如果我稍微拧一下最开始的旋钮 w，最终的汉堡产量 y 会受到多大的影响？
直接看 w 对 y 的影响有点绕。但我们可以用链式思维把它拆解：
拧一下旋钮
w，会先影响肉饼u的产量。这个影响程度是 \(\frac{\partial u}{\partial w}\)。肉饼
u产量的变化，接着会影响最终汉堡y的产量。这个影响程度是 \(\frac{\partial y}{\partial u}\)。
那么，w 对 y 的总体影响，就是这两步影响的乘积。这就像多米诺骨牌，一环扣一环。
恭喜你，这就是链式法则！ 它把一个复杂、间接的影响，拆解成了若干个简单、直接的影响的乘积。